Laura Melandri nasce a Lugo (Ra) il 31 gennaio 1995.

Nel 2008 entra a far parte della squadra giovanile della Teodora Pallavolo Ravenna, mentre l'anno successivo in quella della Pallavolo Reggio Emilia.

Nel 2010 si trasferisce a Bergamo, prima nel Settore Giovanile e poi, nell'annata successiva nella formazione della Foppapedretti che partecipa al campionato di Serie B1, oltre ad ottenere qualche sporadica convocazione in prima squadra, in Serie A1, dove viene aggregata definitivamente per la stagione 2013-14. Durante la sua permanenza a Bergamo, oltre che il rossoblù, veste l’azzurro delle Nazionali giovanili italiane con cui vince la medaglia d'argento al Campionato Europeo Under-18 2011 e quella di bronzo al Campionato Europeo Under-19 2012, mentre nel 2015 ottiene le prime convocazioni nella Nazionale maggiore.

Per il campionato 2015-16 si trasferisce a Piacenza, per poi vestire la maglia de Il Bisonte Firenze nella stagione 2016-17, quella dell'Imoco Conegliano nella stagione 2017-18, con cui vince lo scudetto, e quella della Saugella Monza nella stagione 2018-19, sempre in Serie A1, con cui vince la Challenge Cup.